＜口語と文語＞
口語は話し言葉です。文語は書き言葉です。が、短歌で使っているのは文語といっても何とか候のようにこてこての文語ではなく文語の中でも柔らかい感じの言葉です。
どちらを使ってもかまわないのですが、よくありがちな混用はあまり好ましくないでしょう。
私は文語しか作らないので口語がいいという方は各々で調べてください。俵万智さんの口語短歌などは現代でも有名ですし、そこらの本屋にもおいてあります（これしか無いとも言う）。
私がなぜ口語を使わないかというと、ズバリ文字数の違いです。文語の方が短くてすむので三十一音という定型詩の中でスペースを広く使えます。
＜新かなと旧かな＞
現代、一般的に散文は新かなで書いています。この文章もそうです。「書きて、思ひて」とレポートや報告書で書いては怒られてしまうでしょう（たぶん）。
では、歌はどうするか、ということですが、個人の好みや結社によって違うと言うことだそうです。しかしもともとが文語ですから「文語＋旧かな」の方がしっくりくるような気がします。ですから、私は「文語＋旧かな」でやっています。
旧かなの問題点はパソコンでは出ないということと、調べないとよく間違えるということです。私もよく短歌を公開した後で仮名遣いが間違えていることに気づきます。この差し替えは確かにめんどくさいですが、まぁ、しょうがないでしょう。
ちなみに新かなと旧かなの混用はよくありません。どちらかに統一するべきでしょう。よく見るのは「恋い」を「恋ひ」と言いながら、他は新かな、というパターンでしょう。ＪＰＯＰにもよく見られる混用です。