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ひやしたと申します。

級数展開とか忘却の彼方でして、宮前さんがお試しになった方法より
精度が出るのかどうなのか全くわかりませんが、
私の所有している書籍にＣ言語のソースが記載されているものがあります。
奥村晴彦著・技術評論社「Ｃ言語による最新アルゴリズム辞典」
という書籍でして、「すけ」さん同様、ａｔａｎから求める方法です。
以下、ａｔａｎを求めるコードです。

#define N 24
#define PI 3.1415926358979323846264

long double latan(long double x)
{
    int i, sgn;
    long double a;

    if(x>1){sgn=1;x=1/x;}
    else if(x<-1){sgn=-1;x=1/x;}
    else sgn=0;

    a=0;
    for(i=N;i>=1;i--)
        a=(i*i*x*x)/(2*i+1+a);
    if(sgn>0) return PI/2-x/(1+a);
    if(sgn<0) return -PI/2-x/(1+a);
    /* else */ return x/(1+a);
}

何だかループ回数と誤差の関係とか、約２ページに渡って解説されていますが、
私にはチンプンカンプンでして、とりあずコードだけ転記致しました。